โปรแกรมคำนวณค่า Factorial

บทคัดย่อ

การดำเนินการแฟกทอเรียลพบได้ในคณิตศาสตร์สาขาต่าง ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งคณิตศาสตร์เชิงการจัด พีชคณิต และคณิตวิเคราะห์ การพบเห็นโดยพื้นฐานที่สุดคือข้อเท็จจริงที่ว่า การจัดลำดับวัตถุที่แตกต่างกัน n สิ่งสามารถทำได้ n! วิธี (การเรียงสับเปลี่ยนของเซตของวัตถุ) ข้อเท็จจริงนี้เป็นที่ทราบโดยนักวิชาการชาวอินเดียตั้งแต่ต้นคริสต์ศตวรรษที่ 12 เป็นอย่างน้อย นิยามของแฟกทอเรียลสามารถขยายแนวคิดไปบนอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้โดยยังคงมีสมบัติที่สำคัญ ซึ่งเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงยิ่งขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเทคนิคต่าง ๆ ที่ใช้ในคณิตวิเคราะห์ โปรแกรมที่เราจัดทำขึ้นสามารถทำให้เราหาคำตอบของการสับเปลี่ยนตำแหน่งของสิ่งของได้ง่ายและถูกต้องแม่นยำขี้นและสามารถนำสูตรการหาค่าแฟกทอเรียลไปประยุกต์ใช้ในการหาสูตรต่างๆได้อีก เช่นการหาทฤษฏีความน่าจะเป็น แคลคูลัส เราสามารถคำนวณค่าโดยการ จำนวนเต็มไม่เป็นลบ n คือผลคูณของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ nเขียนแทนด้วย n! (อ่านว่า n แฟกทอเรียล) ตัวอย่าง 3! = 3 x 2 x 1 = 6

ที่มาและความสำคัญ

เมื่อประมาณ 1 ปีที่ผ่านมาพวกเราสมาชิกในกลุ่มได้ศึกษาอยู่ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ซึ่งทุกคนล้วนมุ่งมั่นฝึกทำโจทย์ในการสอบเข้าศึกษาต่อในระดับมัธยมศึกษาปีที่ 4 และในขณะได้ฝึกทำโจทย์อยู่นั้นเอง ก็ได้เจอปัญหาในการทำโจทย์เกี่ยวกับการจัดเรียงจัดเปลี่ยนสิ่งของและตัวอย่างที่ฉันจำได้ก็ได้แก่

จงหาจำนวนวิธีในการนำเลขตั้งแต่ 1-5 มาเรียงกัน 5 ตัวโดยไม่ซ้ำกัน ซึ่งถ้าจะให้เรามาทำการเรียงแต่ละรูปแบบ จำเป็นต้องใช้เวลานาน และไม่แน่ใจในจำนวนรูปแบบว่าครบหรือไม่ แต่ในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ทำให้ทราบว่า สามารถแก้ปัญหาเหล่านี้ได้โดยใช้แฟกทอเรียล กลุ่มของพวกเราจึงได้คิดโปรแกรมภาษาซีเกี่ยวกับการหาค่าของแฟกทอเรียลในแต่ละค่าที่ต้องการ

วิเคราะห์ประโยชน์ของโปรเจ็ค

1.สามารถทำให้เราหาคำตอบของการสับเปลี่ยนตำแหน่งของสิ่งของได้ง่ายและถูกต้องแม่นยำขี้น

2.สามารถนำสูตรการหาค่าแฟกทอเรียลไปประยุกต์ใช้ในการหาสูตรต่างๆได้อีก เช่นการหาทฤษฏีความน่าจะเป็น แคลคูลัส เป็นต้น

ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง

แฟกทอเรียล

ในทางคณิตศาสตร์ แฟกทอเรียล (อังกฤษ: factorial) ของจำนวนเต็มไม่เป็นลบ n คือผลคูณของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ nเขียนแทนด้วย n! (อ่านว่า n แฟกทอเรียล) ตัวอย่างเช่น

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\;$

สำหรับค่าของ 0! ถูกกำหนดให้เท่ากับ 1 ตามหลักการของผลคูณว่าง

นิยามของแฟกทอเรียลสามารถขยายแนวคิดไปบนอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้โดยยังคงมีสมบัติที่สำคัญ ซึ่งเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงยิ่งขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเทคนิคต่าง ๆ ที่ใช้ในคณิตวิเคราะห์

นิยาม

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลได้นิยามเชิงรูปนัยไว้ดังนี้

$n!=\prod_{k=1}^n k \!$

หรือนิยามแบบเวียนเกิดได้ดังนี้

$n! = \begin{cases} 1 & \text{if } n = 0 \\ (n-1)!\times n & \text{if } n > 0 \end{cases}$

นิยามด้านบนทั้งสองได้รวมกรณีนี้เข้าไปด้วย

$0! = 1\;$

ตามหลักการว่าผลคูณของจำนวนที่ไม่มีอยู่เลย (ผลคูณว่าง) มีค่าเท่ากับ 1 สิ่งนี้เป็นประโยชน์เนื่องจาก

การเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุศูนย์สิ่ง มีเพียงหนึ่งวิธีเท่านั้น (ไม่มีสิ่งใดเรียงสับเปลี่ยน "ทุกสิ่ง" ยังคงอยู่ที่เดิม)
ความสัมพันธ์เวียนเกิด (n + 1)! = n! × (n + 1) ซึ่งสามารถใช้ได้เฉพาะ n > 0 จะทำให้ใช้กับกรณี n = 0 ได้ด้วย
นิพจน์ของสูตรต่าง ๆ ที่มีแฟกทอเรียลสามารถใช้งานได้ อย่างเช่นฟังก์ชันเลขชี้กำลังในรูปแบบอนุกรมกำลัง

$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$

เอกลักษณ์ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดสามารถใช้งานได้ สำหรับขนาดของวัตถุที่ประยุกต์ใช้ได้ทั้งหมด จำนวนวิธีที่จะเลือกสมาชิก 0 ตัวจากเซตว่างเท่ากับ $\tbinom{0}{0} = \tfrac{0!}{0!0!} = 1$ หรือโดยนัยทั่วไป จำนวนวิธีที่จะเลือกสมาชิก (ทั้งหมด) n ตัวจากเซตที่มีขนาด n เท่ากับ $\tbinom nn = \tfrac{n!}{n!0!} = 1$

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสามารถนิยามให้กับค่าที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้โดยใช้คณิตศาสตร์ขั้นสูง ดูรายละเอียดด้านล่าง ซึ่งนิยามโดยนัยทั่วไปมากขึ้นเช่นนี้มีใช้ในเครื่องคิดเลขระดับสูงและซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์อาทิเมเพิลหรือแมเทอแมติกา